生孩子出生证明是全国联网的吗

不是。没有联网，由于各省的生育政策不一样，所以计生系统的设计程序也不一样，所以无法联网。
《人口与计划生育法》第四十二条明确规定：按照本法第四十一条规定缴纳社会抚养费的人员，是国家工作人员的，还应当依法给予行政处分；其他人员还应当由其所在单位或者组织给予纪律处分。